Réponse 1:

Quelle est la différence entre dérivée, dérivée partielle et jacobienne?

La dérivée d'une fonction est la fonction qui nous donne le taux de variation instantané de la variable dépendante par rapport à la variable indépendante.

Lorsqu'une fonction a plus d'une variable indépendante, nous obtenons différentes fonctions nous donnant le taux de changement instantané de la variable dépendante par rapport à chacune des variables indépendantes, en maintenant les autres variables indépendantes constantes. Ces fonctions sont appelées dérivées partielles.

Ifwehaveasystemofnequations(i.e.[math]n[/math]dependentvariables[math]y1,y2,yn[/math])in[math]n[/math]independentvariables,[math]x1,x2,,xn,[/math]wecanformamatrixinwhich[math]ith[/math]rowconsistsofthepartialderivativesofthe[math]ith[/math]equationwithrespecttoeachoftheindependentvariablesandthe[math]jth[/math]columnconsistsofthepartialderivativesofeachoftheequationswithrespecttothe[math]jth[/math]independentvariable.If we have a system of n equations (i.e. [math]n[/math] dependent variables [math]y_1,y_2,\cdots y_n[/math]) in [math]n[/math] independent variables, [math]x_1,x_2,\cdots, x_n,[/math] we can form a matrix in which [math]i^{th}[/math] row consists of the partial derivatives of the [math]i^{th}[/math] equation with respect to each of the independent variables and the [math]j^{th}[/math] column consists of the partial derivatives of each of the equations with respect to the [math]j^{th}[/math] independent variable.

Theithrowwouldbe[math]yix1,yix2,,yixn.[/math]The i^{th} row would be [math]\frac{\partial y_i}{\partial x_1},\frac{\partial y_i}{\partial x_2},\cdots, \frac{\partial y_i}{\partial x_n}.[/math]

Thejthcolumnwouldbe[math]y1xj,y2xj,,ynxj.[/math]The j^{th} column would be [math]\frac{\partial y_1}{\partial x_j},\frac{\partial y_2}{\partial x_j},\cdots, \frac{\partial y_n}{\partial x_j}.[/math]

Cette matrice est appelée matrice jacobienne ou jacobienne. Souvent, le déterminant de la matrice jacobienne est également appelé jacobien.