Quelle est la différence entre le co-domaine, la plage et l'image d'une fonction?


Réponse 1:

Une «fonction» est une règle qui mappe chaque élément d'un premier ensemble, appelé «domaine» de la fonction, à un élément d'un deuxième ensemble, appelé «domaine de codage» de la fonction.

Pour une fonction f: A-> B, A est le «domaine» (ensemble qui est «mappé depuis») et B est le «codomaine» (ensemble qui est «mappé vers»).

Si S est un sous-ensemble de A, alors «l'image» de S sous f est ce sous-ensemble T de B composé de tous les points de B que f fait réellement correspondre aux points de A.

L'image de l'ensemble du domaine est appelée la «plage» de f.

Iftherangeisthesameasthecodomain,thenthefunctionissurjectiveoronto.Anexamplewouldbeg:R>R,y=g(x)=x3.AllpointsofRaremappedtobyg,sotherangeisthecodomainandgissurjective.If the range is the same as the codomain, then the function is “surjective” or “onto”. An example would be g:R->R, y=g(x)=x^3. All points of R are mapped-to by g, so the range is the codomain and g is “surjective”.

However,thefunctionh:R>R,y=h(x)=x4isnotsurjective,becausehmapsRonto[math]R0+[/math]only;noneofthevaluesof[math]x4[/math]arenegative.However, the function h:R->R, y=h(x)=x^4 is not surjective, because h maps R onto [math]R_0^+[/math] only; none of the values of [math]x^4[/math] are negative.

Il y a aussi le concept d '«injectif» ou de «one-to-one»; si aucun élément de A n'est mappé sur le même élément de B par une fonction f: A-> B, alors f est «injectif». Les fonctions continues de R à R qui sont strictement croissantes ou strictement décroissantes sont toujours injectives.

Les fonctions à la fois «surjectives» et «injectives» sont appelées «bijectives». Il s'agit d'un concept très utile pour de multiples raisons, dont les moindres ne sont pas les deux: premièrement, une fonction est inversible si et seulement si elle est bijective. Et deuxièmement, deux ensembles A et B ont la même cardinalité (taille) si et seulement si une bijection f existe entre eux.


Réponse 2:

Beafunctionf:XYBe a function f: X\rightarrow Y

Alors pour chaque x il y a une valeur f (x) dans le codomaine, mais pas nécessairement tous les f (x) sont dans le codomaine (ou plage). L'ensemble de tous les f (x) sont l'image

x²: ℝ → ℝ a le co-domaine ℝ mais l'image (pour tout le domaine) [0, + ∞)

Inpractise,youfixarange(orcodomain)meaningthatallthevaluesoff(x)areasubsetofthecodomain,inspiteofmanytimes(notinmathematicaltheoreticaldefinition)arenotallthevaluesofthecodomain.Inpractiseitismoresimpledefinethefunctionlikeasetofpairs(x,f(x))In practise, you fix a range (or co-domain) meaning that all the values of f(x) are a subset of the codomain, in spite of many times (not in mathematical theoretical definition) are not all the values of the codomain. In practise it is more simple define the function like a set of pairs (x, f(x))

Dans ce cas, le codomaine (ou la plage) et l'image sont les mêmes et les définitions pour étudier le concept de fonction sont plus simples

Parfois, la plage est utilisée uniquement pour nommer correctement l'image


Réponse 3:

Codomain signifie toujours l'ensemble à partir duquel les valeurs d'une fonction sont définies pour être prises. Cela fait partie de la définition d'une fonction. Elle reste néanmoins parfois non précisée, si elle est «évidente», ou s'il n'y a aucune raison de distinguer les différents candidats «évidents».

La plage est parfois utilisée pour signifier la même chose que «domaine codé», et parfois pour signifier le sous-ensemble du domaine codé dont les membres sont «utilisés», c'est-à-dire pour lequel existe un élément du domaine dont la fonction correspond à cet élément du domaine codé. . C’est l’image du domaine.

L'image est généralement utilisée pour des sous-ensembles spécifiques du domaine; c'est le sous-ensemble du domaine codé de telle sorte qu'il y ait un élément du sous-ensemble spécifié du domaine qui est mappé à cet élément du domaine codé. Parfois, quand aucun sous-ensemble particulier du domaine n'est explicitement spécifié, le domaine entier est destiné; le même que le sens plus restreint de "plage", qui n'est pas identique par définition au codomaine.