Pour une fonction rationnelle, quelle est la différence entre un trou et une asymptote verticale?


Réponse 1:

Citant l'un de mes professeurs de mathématiques du secondaire:

"Tu ne diviseras pas par zéro."

Parfois, c'est un nombre différent de zéro qui est divisé par zéro:

40\frac{4}{0}

Cela signifie qu'il y a un nombre multiplié par

00

aura pour résultat

44

. (Balivernes!)

Parfois, c'est zéro qui est divisé par zéro:

00\frac{0}{0}

Hmmm. Cela signifie qu'il existe un nombre (singulier) qui, lorsqu'il est divisé par

00

aura pour résultat

00

. Au premier abord, un élève pourrait penser que le nombre est

00

, puisque

0×0=00\times0=0

. Mais un autre élève, se souvenant que tout nombre divisé par lui-même sera égal à 1, ils prétendent donc que la valeur de la fraction est 1 puisque

1×0=01\times0=0

.Anotherstudentfeelsthenumberis283since283×0=0.Sincethereareaninfinitenumberofanswers,to[math]00[/math],thereisreallyNOdefinitionfor[math]00[/math].. Another student feels the number is 283 since 283\times0=0. Since there are an infinite number of answers, to [math]\frac{0}{0}[/math], there is really NO definition for [math]\frac{0}{0}[/math].

Considérons maintenant une fonction rationnelle avec ses numérateurs et dénominateurs tous pris en compte.

(x+2)(x+4)(x2)(x3)(x2)(x+4)(x9)(x+8)\frac{(x+2)(x+4)(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+4)(x-9)(x+8)}

Dans notre fonction rationnelle ci-dessus, les restrictions dans le domaine sont

xx ≠

{-8, -4, 2, 9}.

Les asymptotes verticales et les trous dans le graphique sont représentés dans les restrictions sur le domaine. Ces restrictions sont causées lorsqu'une valeur de

xx

serait une tentative de division par

00

.

Il s’avérera que deux de ces restrictions représentent la

xx

-coordonnée d'un trou dans le graphique, les deux autres seront des asymptotes verticales.

J'aime commencer par trouver les formes intelligentes de 1 et les séparer des facteurs qui ne correspondent pas:

x2x2x+4x+4(x+2)(x3)(x9)(x+8)\frac{x-2}{x-2}·\frac{x+4}{x+4}·\frac{(x+2)(x-3)}{(x-9)(x+8)}

Les formes intelligentes de 1 sont toujours égales à 1 sauf lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux à 0. Le

xx

-les coordonnées des trous sont 2 et -4.

Les asymptotes verticales se produisent à toutes les autres valeurs restreintes de x qui ne sont pas des coordonnées x des trous. Dans mon exemple, ce sont

x=9x=9

et

x=8x=-8

.


Réponse 2:

Le graphique d'une fonction rationnelle est continu partout où il est défini. Un trou est le point où la fonction n'est pas définie.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

a un trou à

x=2x=2

.

Si nous prenons en compte

x2x-2

de haut en bas, on obtient

y=x+2y=x+2

.

Son graphique est la ligne droite

y=x+2y=x+2

mais le point

(2,4)(2,4)

est absent du graphique (car il n'a jamais été défini pour

x=2x=2

).

Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur tend vers zéro.

par exemple, pour

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

n'est pas défini à

x=0x=0

. Mais si vous regardez le graphique,

yy

tend à

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ici,

x=0x=0

(Axe Y) est appelée l'asymptote verticale.

En général,

1xa\frac{1}{x-a}

a l'asymptote verticale

x=ax=a

.

Une asymptote verticale est la ligne verticale tracée au point autour duquel la fonction tend à

±\pm \infty

,

Un trou est un point où le graphique "se casse".


Réponse 3:

Le graphique d'une fonction rationnelle est continu partout où il est défini. Un trou est le point où la fonction n'est pas définie.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

a un trou à

x=2x=2

.

Si nous prenons en compte

x2x-2

de haut en bas, on obtient

y=x+2y=x+2

.

Son graphique est la ligne droite

y=x+2y=x+2

mais le point

(2,4)(2,4)

est absent du graphique (car il n'a jamais été défini pour

x=2x=2

).

Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur tend vers zéro.

par exemple, pour

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

n'est pas défini à

x=0x=0

. Mais si vous regardez le graphique,

yy

tend à

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ici,

x=0x=0

(Axe Y) est appelée l'asymptote verticale.

En général,

1xa\frac{1}{x-a}

a l'asymptote verticale

x=ax=a

.

Une asymptote verticale est la ligne verticale tracée au point autour duquel la fonction tend à

±\pm \infty

,

Un trou est un point où le graphique "se casse".


Réponse 4:

Le graphique d'une fonction rationnelle est continu partout où il est défini. Un trou est le point où la fonction n'est pas définie.

y=x24x2y=\frac{x^2-4}{x-2}

a un trou à

x=2x=2

.

Si nous prenons en compte

x2x-2

de haut en bas, on obtient

y=x+2y=x+2

.

Son graphique est la ligne droite

y=x+2y=x+2

mais le point

(2,4)(2,4)

est absent du graphique (car il n'a jamais été défini pour

x=2x=2

).

Une asymptote verticale se produit lorsque le dénominateur tend vers zéro.

par exemple, pour

y=1xy=\frac{1}{x}

,

yy

n'est pas défini à

x=0x=0

. Mais si vous regardez le graphique,

yy

tend à

++\infty

fromtherightsideof0,andtendsto[math][/math]fromtheleft: from the right side of 0, and tends to [math]-\infty[/math] from the left :

Ici,

x=0x=0

(Axe Y) est appelée l'asymptote verticale.

En général,

1xa\frac{1}{x-a}

a l'asymptote verticale

x=ax=a

.

Une asymptote verticale est la ligne verticale tracée au point autour duquel la fonction tend à

±\pm \infty

,

Un trou est un point où le graphique "se casse".