Analyse par éléments finis: quelle est la différence entre les éléments de premier ordre et de second ordre?


Réponse 1:

Wasfi Zakaria a fourni une excellente description de l'approche qui différencie les éléments du premier ordre du second ordre.

Il y a une complexité subtile introduite dans les éléments à mesure qu'ils deviennent d'ordre supérieur.

Regardons un triangle dans l'espace réel.

La fonction de forme canonique en coordonnées réelles pour un élément triangle linéaire est:

P = a + bx + cy (3 paramètres et 3 nœuds)

et

dP / dx = b ou la déformation dans la direction x peut varier linéairement en y.

dP / dy = c ou la déformation dans la direction y peut varier linéairement en x.

La fonction de forme canonique en coordonnées réelles pour un triangle bilinéaire (de second ordre) est:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 paramètres et 6 nœuds)

et

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Et nous avons à nouveau des comportements de déformation symétriques.

Regardons maintenant l'élément quad linéaire:

P = a + bx + cy + dxy (quatre paramètres, quatre nœuds)

et

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Notez qu'il existe une asymétrie dans les champs de déformation d / dx et d / dy.

Voyons maintenant l'élément de sérendipité biquadratique (huit nœuds):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (huit paramètres, huit nœuds)

et les champs de déformation peuvent être déterminés par

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

et encore une fois les champs de déformation ne sont pas symétriques.

Ainsi, les éléments triangulaires (et les éléments tétraédriques i 3D) ont des champs de déformation (et donc de contrainte) symétriques, contrairement aux éléments de sérendipité quad.

En quoi est-ce important?

Regardons un champ de déplacement constant pur (étirement constant). Tous les éléments ne présenteront que le terme de déformation constante et tous se comporteront également bien.

Regardons la déformation linéaire à travers la section (comme par exemple en flexion pure). le triangle linéaire est une déformation constante et correspond donc à la déformation réelle sous la forme d'un ensemble de fonctions de pas et converge très lentement. Pour certains problèmes (plasticité) ces éléments se bloquent et sont correctement énoncés, le comportement de convergence est étrange. les éléments bilinéaires, cependant, peuvent représenter explicitement un champ de déformation variant linéairement dans x ou y et les éléments convergent immédiatement pour un élément.

Voyons maintenant les champs de déplacement d'ordre supérieur, disons un champ de déplacement cubique qui donne des champs de déformation quadratiques (flexion sous charge finale). Le triangle bilinéaire s'adaptera au champ de déplacement avec un ensemble de champs quadratiques et la convergence est relativement rapide. De la même manière, la variation du champ de déformation peut être représentée symétriquement à travers l'élément et le champ de déformation se comporte bien. Regardons les éléments quadruples. Ils cartographieront également le champ de déplacement comme un ensemble de champs de déplacement quadratiques et convergeront assez rapidement. Cependant, il existe maintenant des composants de déformation de second ordre et ceux-ci peuvent exciter les termes de second ordre dans la dérivée des fonctions de forme. Et à mesure que le champ de déplacement devient plus sévère et plus complexe, ces champs de déformation d'ordre supérieur sont de plus en plus excités. Le résultat peut être des déformations oscillantes (et donc des contraintes), voir ci-dessous.

pris à partir de:

Analyse structurale avec la méthode des éléments finis. Statique linéaire

Ceci est discuté plus en détail dans:

Lissage par déformation des moindres carrés pour l'élément de contrainte du plan de sérendipité à huit nœuds

et

Procédures par éléments finis

et

Analyse structurale avec la méthode des éléments finis. Statique linéaire

Le moindre carré lissant sur l'élément (la ligne droite dans ce cas) est une solution très efficace à ce défi.

Impact:

1) les quads / rectangles convergent plus rapidement que les triangles / tétraèdres

2) les éléments bilinéaires convergent beaucoup plus rapidement que les éléments linéaires

3) les quadrilatères / rectangles bilinéaires (ou langrangiens ou ...) sont sensibles aux oscillations de contraintes parasites

4) l'ajustement le moins carré des champs de déformation / contrainte sur l'élément est très efficace pour réduire cette oscillation


Réponse 2:

Après la discrétisation dans FEA, tous les éléments se voient attribuer une fonction (un polynôme) qui serait utilisée pour représenter le comportement de l'élément. Les équations polynomiales sont préférées pour cela car elles peuvent être facilement différenciées et intégrées. L'ordre d'un élément est le même que l'ordre de l'équation polynomiale utilisée pour représenter l'élément.

Un élément linéaire ou un élément de premier ordre n'aura des nœuds qu'aux coins. C'est quelque chose comme la structure cubique centrée sur les bords.

Cependant, un élément du deuxième ordre ou un élément quadratique aura des nœuds latéraux en plus des nœuds au coin (structure cubique bord + corps + face centrée).

Un élément linéaire dans le diagramme ci-dessus a clairement deux nœuds par arête et n'a donc besoin que d'une équation linéaire à affecter pour représenter le comportement de l'élément.

Cependant, un élément quadratique a besoin d'une équation quadratique pour décrire son comportement car il a trois nœuds.

Pour les éléments dans lesquels vous souhaitez capturer la courbure, les polynômes d'ordre supérieur sont préférés. Les éléments du premier ordre ne peuvent pas capturer la courbure.

L'ordre de l'élément n'a rien à voir avec la géométrie. Dans le diagramme ci-dessous, pour le même triangle, le premier ordre ainsi que la deuxième discrétisation peuvent être effectués, mais le second ordre a de bonnes chances de capturer la courbure.

Pour capturer avec précision des courbures complexes, des polynômes d'ordre très élevé sont nécessaires mais ils se font au prix d'un temps de calcul accru. Par conséquent, il vaut mieux avoir un compromis entre le degré de précision et le temps de calcul.

Maintenant, parlons du nombre de nœuds entre les éléments du premier et du second ordre. Le nombre de nœuds est obtenu par le triangle de Pascal.

Les éléments suivants concernent les triangles. Pour un ordre 0, le nombre de termes est 1, ce qui signifie que le nombre de nœuds doit être 1.

Pour un linéaire (polynôme du premier ordre), le nombre de termes est 3, ce qui signifie que le nombre de nœuds doit être 3.

Pour un quadratique (polynôme du second ordre), le nombre de termes est 6 qui est nombre de nœuds = 6.

Maintenant, dans le cas des carrés, nous devons considérer le carré comme l'addition de deux triangles. Les résultats pour le premier ordre, linéaire et quadratique sont les suivants:


Réponse 3:

Les éléments du premier ordre sont généralement composés de la combinaison de lignes (ce qui signifie que la construction de FOE est régie par des équations déférentielles linéaires ou des équations déférentielles du premier ordre) c'est-à-dire triangle, élément tat. Ils sont les meilleurs en termes de précision tout en traitant les formes géométriquement biaisées comme le carré parfait, le rectangle, etc. Ils ont moins de nœuds sur le territoire souhaité.

Les éléments du deuxième ordre sont composés de courbes et de lignes de courbure (ce qui signifie que la construction de SOE est régie par des équations déférentielles du second ordre), ils ont tendance à montrer la plus grande précision sur les éléments géométriquement biaisés ainsi que les éléments géométriques très complexes ou compliqués lors de l'exécution. FEA


Réponse 4:

c'est la fonction polynomiale qui décrit l'élément, en fait, pour le premier ordre, les éléments ont une fonction comme: P (x) = a * x + b

et pour les éléments du second ordre, la fonction est quelque chose comme: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

dans l'image ci-dessus, la première ligne d'éléments est de 1er ordre tandis que les éléments de 2ème ordre sont dans la 2ème ligne.

PS: vous pouvez voir la forme parabolique des éléments du 2e ordre, c'est la chose que les éléments du 1er ordre ne peuvent pas vous donner.