La différence entre un point local et absolu / global max et min peut-elle être trouvée mathématiquement (sans graphique)?


Réponse 1:

Vous allez à des théorèmes mathématiques et des preuves pour faire des choses comme ça.

Si vous êtes en mesure de prouver que votre fonction est une fonction convexe, alors vous savez qu'elle n'a qu'un minimum local et donc un minimum absolu. Le même argument peut être avancé pour les maximums si vous prenez le négatif de la fonction.

Si vous êtes en mesure de prouver que votre fonction est différentiable en second lieu et que la dérivée seconde est non négative presque partout, alors vous venez de prouver qu'elle est convexe et vous pouvez ensuite l'utiliser.

Si votre fonction d'une variable réelle est un polynôme d'ordre impair, vous savez qu'elle n'a pas d'extrema absolu. S'il est d'ordre uniforme, alors vous regardez le signe du terme principal et vous n'avez pas de maximum absolu ou de minimum absolu.

Si vous pouvez diviser votre fonction en un groupe de morceaux où chacun de ces morceaux a les propriétés ci-dessus, vous pouvez filtrer les candidats possibles pour être des extrema globaux.

Enfin, lorsque vous avez une liste finie de points, vous pouvez toujours tous les vérifier.

Là où les choses deviennent délicates, c'est lorsque vous travaillez avec des fonctions (ou leurs négatifs) qui ne sont pas convexes et non différenciables. À ce stade, moins vous en savez sur la fonction, moins vous êtes en mesure de prouver qu'un point extrême est un point extrême global.

La théorie de l'optimisation est un domaine très vaste de la recherche mathématique actuelle.